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分式方程教案
作為一名教師，總歸要編寫教案，編寫教案有利于我們科學、合理地支配課堂時間。來參考自己需要的教案吧！以下是小編為大家整理的分式方程教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
分式方程教案1
教學目標：
1、本節(jié)課使學生在學完了可化為一元二次方程的分式方程的解法后，解決實際問題應(yīng)用之一．——行程問題，使學生正確理解行程問題的有關(guān)概念和規(guī)律，會列分式方程解有關(guān)行程問題的應(yīng)用題．
2、本節(jié)課通過列分式方程解有關(guān)行程問題的應(yīng)用題，就是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，這就要求學生能對實際問題分析、概括、總結(jié)、解，從而能進一步地提高學生分析問題和解決問題的能力．
教學重點：
列分式方程解有關(guān)行程問題．
教學難點：
如何分析和使用復雜的數(shù)量關(guān)系，找出相等關(guān)系，對于難點，解決的關(guān)鍵是抓住時間、路程、速度三者之間的關(guān)系，通過三者之間的關(guān)系的分析設(shè)出未知數(shù)和列出方程．
3．疑點：對于列分式方程解應(yīng)用題，學生往往考慮到所解出的答案是否和題意相吻合，而認為可以不需要檢驗．通過本節(jié)的學習，使學生清楚地懂得列分式方程解應(yīng)用題應(yīng)首先檢驗所求出的方程的解是否是所列分式方程的解，然后考慮所滿足方程的解是否與題意相吻合．
教學過程：
在上一節(jié)課，我們已經(jīng)學習了可化為一元二次方程的分式方程的解法，我們知道，我們現(xiàn)在所學習的理論是先人通過千百年的實踐總結(jié)，概括出來的`，我們學習理論是為了更好地解決實踐當中所出現(xiàn)的問題．這一節(jié)課所學的內(nèi)容就是運用上節(jié)課所學過的分式方程解法的知識去解決實際問題，關(guān)于本節(jié)內(nèi)容，是學生在上節(jié)課所學過的分式方程的解法的基礎(chǔ)上而學習的，所以點出由實踐——理論——實踐這一觀點，能更加激發(fā)學生的求知欲，使得學生能充分地認識到學習理論知識和理論知識的運用同等重要，從而抓住學生的注意力，能使得學生充分地參與到教學活動中去．
為了使學生能充分地利用所學過的理論知識來解決實際問題，首先應(yīng)對上一節(jié)課所學過的分式方程的解法進行復習，同時讓學生回憶行程問題中的三個量——速度、路程、時間三者之間的關(guān)系，從而將學生的思路調(diào)動到本節(jié)課的內(nèi)容中來，這樣對于面向全體學生，大面積地提高教學質(zhì)量大有益處．
一、新課引入：
1．解分式方程的基本思路是什么？解分式方程常用的兩種方法是什么？
2．在勻速運動過程中，路程s、速度v、時間t三者之間的關(guān)系是什么？
3．以前所學過的列方程解應(yīng)用題的步驟有哪些？
通過對問題1的復習，使學生對前一節(jié)內(nèi)容得到鞏固，對問題2的復習給學生設(shè)定一種懸念，以抓住學生的注意力，對問題3的復習，使學生對于問題2的懸念有了一種初步的判斷，以便于點題——本節(jié)課所學的內(nèi)容．
通過對前面三個復習問題的設(shè)計，學生能充分的認識到本節(jié)所要學習的內(nèi)容，再加上適時點題，完全地將學生的注意力全部地集中到教師身上，充分發(fā)揮教師的指導作用，并調(diào)動起學生的積極性，發(fā)揮學生的主體作用．
二、新課講解：
例1甲、乙二人同時從張莊出發(fā)，步行15千米到李莊．甲比乙每小時多走1千米，結(jié)果比乙早到半小時．二人每小時各走幾千米？
分析：
�。�1）題目中已表明此題是行程問題，實質(zhì)上是速度、路程、時間三者關(guān)系在題中的隱含．
（2）題目中所隱含的等量關(guān)系是：甲從張莊到李莊的時間比乙
分式方程教案2
一．教學課題：解分式方程微教案
二．教學目標：
【知識技能】：
1.理解分式方程的意義
2.了解解分式方程的基本思路和解法3．理解解分式方程時，可能無解的原因，并掌握解分式方程的驗根方法
【過程與方法】：經(jīng)歷“實際問題——分式方程——整式方程”的過程，發(fā)展學生分析問題，解決問題的能力，滲透數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識。
【情感態(tài)度與價值觀】：培養(yǎng)學生努力尋找解決問題的進取心，體會數(shù)學的應(yīng)用價值。
三．教學重難點：
【教學重點】：解分式方程的基本思路和解法
【教學難點】：理解解分式方程時可能無解的原因四．教材內(nèi)容分析：本節(jié)課學生已掌握簡單的整式方程的解法（一元一次方程及二元一次方程組），學習過分式的四則運算。這節(jié)課是分式方程的起始課，要求能從實際的生活情境中抽象出分式方程的概念，主要研究分式方程及其解法，分式方程與整式方程在概念上是不同的，但他們在解法上卻有著一定的聯(lián)系和區(qū)別，即分式方程最終要轉(zhuǎn)化為整式方程來解，但最后要驗根這是學生最容易忘記的，所以教學中要強調(diào)。四．學情分析：本節(jié)課是在學生學習了分式及運算后學習分式方程，充分體現(xiàn)了分式方程與分式的聯(lián)系及分式方程與整式方程的區(qū)別，讓學生體會分式方程也是解決實際問題的重要手段。五、教學過程：環(huán)節(jié)一.創(chuàng)設(shè)情景，引入新課問題：一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時，它沿江以最大航速順流航行100千米所用時間與以最大航速逆流航行60千米所用時間相等，江水的流速為多少？
1.這個問題中給出了哪些信息，等量關(guān)系是什么？
2.設(shè)江水的流速為V千米/時輪船順流航行速度為XXX千米/時,逆流航行速度為XXX千米/時,順流航行100千米所用時間為X小時,XXX逆流航行60千米所用時間為XXX小時,列方程XXX
【師生行為】：教師提出問題，學生思考回答，在活動中教師關(guān)注：（1）學生能否將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題（2）不同層次學生對實際問題抽象出數(shù)學模型的掌握情況。
【設(shè)計意圖】通過實際中的行程問題，引導學生從分析入手，列出含未知數(shù)的式子表示有關(guān)量，并列出方程，引發(fā)學生學習興趣，提出問題引發(fā)思考，為探索分式方程及分式方程的解法作準備，自然引出學習課題。
1.問題:
(1)方程與以前所學的整式方程有何不同？
(2)滿足什么特點的方程叫分式方程？
板書：像這樣分母中含有未知數(shù)的方程，叫做分式方程。歸納：確定是不是分式方程，主要是看是否符合分式方程的概念，方程的分母中含有未知數(shù)，像這樣的'方程才屬于分式方程。
2.練習
【設(shè)計意圖】：通過讓學生自己舉例及判斷哪些方程是分式方程，及時歸納總結(jié)，鞏固所學知識既然我們已經(jīng)清楚了什么樣的方程是分式方程，那么分式方程你會解嗎？讓我們來看這樣一題：如何解分式方程呢？
【教師提出問題】：
1.這樣的方程你以前解過嗎？
2.你以前解過什么方程？
3.那你能不能把這個方程轉(zhuǎn)化為你會解的方程即整式方程呢？
4.怎么轉(zhuǎn)化呢？
【師生行為】：教師提出問題，學生思考,討論后在全班交流探究結(jié)果。教師在活動中關(guān)注:學生能否觀察出分式方程與整式方程的區(qū)別學生是否有利用“轉(zhuǎn)化思想”解決問題的意識學生是否在參與合作交流的活動中獲取知識，學生是否從多角度來研究分式方程的解法。
【設(shè)計意圖】：主要讓學生運用“轉(zhuǎn)化思想”探討解分式方程的方法，鼓勵學生從多角度思考問題，解釋所獲得結(jié)果的合理性，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。
環(huán)節(jié)三.應(yīng)用遷移，鞏固提高問題:（1）解分式方程：上面兩個方程中,為什么去分母后所得整式方程的解是它的解,而去分母所得整式方程的解卻不是它的解呢?（3）探究:分式方程無解的原因是什么？(分式方程去分母后的整式方程的解代入原分式方程分母中,分母為0無意義,所以分式方程無解)（4）探究:如何檢驗分式方程的解?1.直接代入原方程(計算量大,很少用)2.間接代入最簡公分母(常用檢驗方法)
【設(shè)計意圖】：主要讓學生通過自己探索實踐,找出分式方程無解的原因及驗根的必要性.學生在教學活動中通過積極參與和有效參與,來達到知識與能力、過程和方法、情感態(tài)度與價值觀的全面落實。
環(huán)節(jié)四. 總結(jié)反思，拓展升華探究:解分式方程基本思路是什么？有哪些步驟？每一步的目的是什么？解分式方程的基本思路是：分式方程通過去分母轉(zhuǎn)化成整式方程。步驟：
步驟目的１．去分母（關(guān)鍵找最簡公分母）將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程２．解這個整式方程得到整式方程的解３．檢驗(代入最簡公分母看是否為0,為0增根)舍去增根４．寫出最終結(jié)果得到原方程的解
口訣：一化二解三檢驗四作答
【設(shè)計意圖】：通過探究，引發(fā)學生的思考，讓學生在自主探究合作交流中歸納總結(jié)解分式方程的基本思路和步驟，在合作交流中獲得成功的快樂。
分式方程教案3
教學目標
1。知識與技能
能應(yīng)用所學的函數(shù)知識解決現(xiàn)實生活中的問題，會建構(gòu)函數(shù)“模型”。
2。過程與方法
經(jīng)歷探索一次函數(shù)的應(yīng)用問題，發(fā)展抽象思維。
3。情感、態(tài)度與價值觀
培養(yǎng)變量與對應(yīng)的思想，形成良好的函數(shù)觀點，體會一次函數(shù)的應(yīng)用價值。
重、難點與關(guān)鍵
1。重點：一次函數(shù)的應(yīng)用。
2。難點：一次函數(shù)的應(yīng)用。
3。關(guān)鍵：從數(shù)形結(jié)合分析思路入手，提升應(yīng)用思維。
教學方法
采用“講練結(jié)合”的教學方法，讓學生逐步地熟悉一次函數(shù)的應(yīng)用。
教學過程
一、范例點擊，應(yīng)用所學
例5、小芳以200米/分的'速度起跑后，先勻加速跑5分，每分提高速度20米/分，又勻速跑10分，試寫出這段時間里她的跑步速度y（單位：米/分）隨跑步時間x（單位：分）變化的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)圖象。
y=
例6、A城有肥料200噸，B城有肥料300噸，現(xiàn)要把這些肥料全部運往C、D兩鄉(xiāng)。從A城往C、D兩鄉(xiāng)運肥料的費用分別為每噸20元和25元；從B城往C、D兩鄉(xiāng)運肥料的費用分別為每噸15元和24元，現(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料240噸，D鄉(xiāng)需要肥料260噸，怎樣調(diào)運總運費最少？
解：設(shè)總運費為y元，A城往運C鄉(xiāng)的肥料量為x噸，則運往D鄉(xiāng)的肥料量為（200—x）噸。B城運往C、D鄉(xiāng)的肥料量分別為（240—x）噸與（60+x）噸。y與x的關(guān)系式為：y=20x+25（200—x）+15（240—x）+24（60+x），即y=4x+10040（0≤x≤200）。
由圖象可看出：當x=0時，y有最小值10040，因此，從A城運往C鄉(xiāng)0噸，運往D鄉(xiāng)200噸；從B城運往C鄉(xiāng)240噸，運往D鄉(xiāng)60噸，此時總運費最少，總運費最小值為10040元。
拓展：若A城有肥料300噸，B城有肥料200噸，其他條件不變，又應(yīng)怎樣調(diào)運？
二、隨堂練習，鞏固深化
課本P119練習。
三、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?/p>
由學生自我評價本節(jié)課的表現(xiàn)。
四、布置作業(yè)，專題突破
課本P120習題14。2第9，10，11題。
分式方程教案4
教學設(shè)計思路
經(jīng)歷從實際問題中建立分式方程模型的過程，從分析分式方程的特點入手，引出解分式方程的根本思路。通過解分式方程討論得出分式方程驗根的必要性。通過例題穩(wěn)固分式方程的解法，總結(jié)出解分式方程的步驟。
教學目標
知識與技能
1．通過對實際問題的分析，感受分式方程刻畫現(xiàn)實世界的有效模型的意義。
2．通過觀察、思考，歸納分式方程的概念。
3．解分式方程的一般步驟。
4．說出解分式方程驗根的必要性。
過程與方法
1．通過具體例子，獨立探索方程的解法，經(jīng)歷和體會解分式方程的必要步驟。
2．進一步體會數(shù)學思想中的“轉(zhuǎn)化“思想，認識到能將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，從而找到解分式方程的途徑。
情感態(tài)度與價值觀
1．養(yǎng)成自覺反思求解過程和自覺檢驗的良好習慣，培養(yǎng)嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度。
2．運用“轉(zhuǎn)化〞的思想，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，從而獲得一種成就感和學習數(shù)學的自信心。
教學重點和難點
教學重點
1．解分式方程的一般步驟，熟練掌握分式方程的解法。
2．明確解分式方程驗根的必要性。
教學難點
明確解分式方程驗根的必要性。
教學方法
啟發(fā)引導、小組討論、合作探究
教學媒體
課件
教學過程設(shè)計
〔一〕復習及引入新課
1．什么叫方程？什么叫方程的解？
答：含有未知數(shù)的等式叫做方程。
使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。
2．在x=0，x=1，x=－1中，哪個是方程的解，為什么？
解：〔1〕當x=0時，左邊=，右邊=0，∴左邊=右邊，∴x=0是方程的解。
〔2〕當x=1時，左式無意義，所以x=1不是方程的解。
〔3〕當x=－1時，左式≠右邊，所以x=－1不是方程的解。
3．回到本章引言中的問題：
一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時，它沿江以最大航速順流航行100千米所用時間，與以最大航速逆流航行60千米所用時間相等。江水的流速為多少？
設(shè)：江水的流速為千米/時，則：輪船順流航行速度為千米/時，逆流航行速度為千米/時，順流航行100千米所用的時間為小時，逆流航行60千米所用的時間為小時。
經(jīng)過分析得到問題的量為兩個分式：、，根據(jù)量間的關(guān)系列出方程：
思考
這個方程和我們以前所見過的方程有什么不同？
引出分式方程的概念。
〔二〕講授新課，探索分式方程的解法
活動1
思考
1．分式方程的主要特點是什么？
2．通過分析分式方程的特點，找出與其他方程不同之處。
3．結(jié)合方程的特點，探索如何解分式方程？
教師提出問題，學生思考、討論；師生共同得出結(jié)論：
分式方程的特征：分母中含有未知數(shù)。
這是與前面我們學習的整式方程的.最大區(qū)別點。〔整式方程的未知數(shù)不在分母中。〕
在探討分式方程的解法時，可聯(lián)系一元一次方程的解法。
如：解方程
解：去分母，方程兩邊同乘以分母的最小公倍數(shù)6，得：
去括號，得：
移項，得：
合并同類項，得：
系數(shù)化為1，得：
由上述解法，我們自然會想到通過“去分母〞實現(xiàn)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。
“去分母〞是將分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程的關(guān)鍵步驟。
解方程：
去分母，方程兩邊同時乘以各分母的最簡公分母得
解得：
檢驗：將代入原方程中，左邊右邊，因此是分式方程的解。
由此可知：江水的流速為5千米/時。
歸納：
解分式方程的根本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母〞，即方程兩邊同乘最簡公分母，這也是解分式方程的一般思路和做法。
活動解方程：
教師出例如題，學生動手操作，思考，然后分組交流。
教師進行評價，提出質(zhì)疑，然后進行說明強調(diào)。
解：
去分母，在方程兩邊同時乘以最簡公分母，得整式方程
解得：。
師
是原方程的解嗎？
生將代入原分式方程檢驗，發(fā)現(xiàn)這時分母和的值都為0，相應(yīng)的
分式無意義，所以……。
師對，因此雖是整式方程的解，但不是原方程的
解，實際上，這個分式方程無解。
活動3
思考：
在上面兩個分式方程中，為什么①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而②去分母后所得整式方程的解卻不是②的解呢？
學生思考，分母討論，發(fā)表自己的見解。
通過討論總結(jié)出問題的答案。
活動4
問題1：在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中會產(chǎn)生增根：那么是不是就不要這樣的
解呢？采用什么樣的方法補救？
問題2：怎么檢驗較簡單呢？還需要將整式方程的解分別代入原方程的左、右兩邊嗎？
教師提出問題，學生討論、答復。
問題1的解答：
還是要把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解，解出整式方程的解后可用檢驗的方法看是不是原方程的解。
問題2的解答。
不用，產(chǎn)生增根的原因是這個根使去分母時的最簡公分母為零造成的。因此最簡單的檢驗方法是：把整式方程的解代入最簡公分母。假設(shè)使最簡公分母為零，則是原方程的增根，假設(shè)使最簡公分母不為零，則是原方程的解。是增根，必舍去。一般地，說明原方程無解。
歸納：
一般地，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為0。因此應(yīng)如下檢驗：
將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解，是增根，舍去。
活動5
例1解方程：
例2解方程：
教師出例如題，學生動手操作
教師強調(diào)：去分母時，方程兩邊的每一項都要乘同一整式，不要漏乘某項。
歸納：
解分式方程的一般步驟如下：
〔三〕練習
練習：教科書第35頁練習
〔四〕小結(jié)
學習了哪些知識？解分式方程的一般步驟是什么？
強調(diào)解分式方程的三個步驟：〔一去分母；二解整式方程；三檢驗〕缺一不可。
其次使學生明白、體驗“轉(zhuǎn)化〞思想
分式方程教案5
學習目標：
(一)學習知識點
1、用分式方程的數(shù)學模型反映現(xiàn)實情境中的實際問題.
2、用分式方程來解決現(xiàn)實情境中的問題.
3、經(jīng)歷建立分式方程模型解決實際問題的過程，體會數(shù)學模型的應(yīng)用價值，從而提高學習數(shù)學的興趣.
學習重點：
1.審明題意，尋找等量關(guān)系，將實際問題轉(zhuǎn)化成分式方程的數(shù)學模型.
2.根據(jù)實際意義檢驗解的合理性.
學習難點：
尋求實際問題中的等量關(guān)系，尋求不同的解決問題的方法.
學習過程：
�、�.提出問題，引入新課
前兩節(jié)課，我們認識了分式方程這樣的數(shù)學模型，并且學會了解分式方程.
接下來，我們就用分式方程解決生活中實際問題.
例1：某單位將沿街的一部分房屋出租.每間房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年為9.6萬元，第二年為10.2萬元.
(1)你能找出這一情境的等量關(guān)系嗎?
(2)根據(jù)這一情境，你能提出哪些問題?
(3)這兩年每間房屋的租金各是多少?
解法一：設(shè)每年各有x間房屋出租，那么第一年每間房屋的租金為______元，第二年每間房屋的租金為__________元，根據(jù)題意得方程，
解法二：設(shè)第一年每間房屋的'租金為x元，第二年每間房屋的租金為_______元.第一年租出的房間為__________間，第二年租出的房間為__________間，根據(jù)題意得方程，
例2：小芳帶了15元錢去商店買筆記本.如果買一種軟皮本，正好需付15元錢.但售貨員建議她買一種質(zhì)量好的硬皮本，這種本子的價格比軟皮本高出一半，因此她只能少買一本筆記本.這種軟皮本和硬皮本的價格各是多少?
解：設(shè)軟皮本的價格為x元，則硬皮本的價格為________元，那么15元錢可買軟皮本_________本，硬皮本___________本.根據(jù)題意得方程，
圖3-4
活動與探究：
1、如圖，小明家、王老師家、學校在同一條路上.小明家到王老師家路程為3km，王老師家到學校的路程為0.5km,由于小明父母戰(zhàn)斗在抗“非典”第一線，為了使他能按時到校，王老師每天騎自行車接小明上學.已知王老師騎自行車的速度是步行速度的3倍，每天比平時步行上班多用了20分鐘，問王老師的步行速度及騎自行車的速度各是多少?(2003年吉林省中考題)
2、從甲地到乙地有兩條公路：一條全長600千米的普通公路，另一條是全長480千米的高速公路。某客車在高速公路上行駛的速度比在普通公路上快45千米/時，由高速公路從甲地到乙地所需時間是由普通公路從甲地到乙地所需時間的一半。求客車在高速公路上行駛的速度。
3、輪船順水航行40千米所用的時間與逆水航行30千米所用的時間相同，若水流的速度為3千米/時求輪船在靜水中的速度?
積累與總結(jié)：
1、列方程解決實際情境中的具體問題，是數(shù)學實用性最直接的體現(xiàn)，而解決這一問題是如何將實際問題建立方程這樣的數(shù)學模型，關(guān)鍵則在于審清題意，找出題中的等量關(guān)系，找到它就為列方程指明了方向.
2、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：(1)審清題意，找出等量關(guān)系;(2)設(shè)出__________;(3)列出_________;(4)解分式方程;(5)檢驗，既要驗證是否是原方程的的根，又要驗證是否符合題意;(6)寫出答案。
分式方程教案6
【知識拓展】
分 母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．解分式方程組的基本思想是：化為整式方程．通常有兩種做法：一是去分母；二是換元．
解分式方程一定要驗根．
解分式方程組時整體代換的思想體現(xiàn)得很充分．常見的思路有：取倒數(shù)法方程迭加法，換元法等．
列分式方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是找到相等關(guān)系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知數(shù)，需根據(jù)題競變換條件，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化．設(shè)未知數(shù)而不求解是常見的技巧之一．
例題求解
一、分式方程(組)的解法舉例
1．拆項重組解分式方程
【例1】解方程 ．
解析 直接去分母太繁瑣，左右兩邊分別通分仍有很復雜的分子．考慮將每一項分拆：如 ，這樣可降低計算難度．經(jīng)檢驗 為原方程的解．
注 本題中用到兩個技巧：一是將分式拆成整式加另一個分式；二是交換了項，避免通分后分子出現(xiàn)x．這樣大大降低了運算量．本講趣題引路中的問題也屬于這種思路．
2．用換元法解分式方程
【例2】解方程 ．
解析 若考慮去分母，運算量過大；分拆也不行，但各分母都是二次三項式，試一試換元法．
解 令x2+ 2x―8=y，原方程可化為
解這個關(guān)于y的分式方程得y=9x或y=－5x．
故當y=9x時，x2+2x―8=9x，解得x1=8，x2=―1．
當y=－5x時，x2+2x―8=－5x，解得x3=―8，x4=1．
經(jīng)檢驗，上述四解均為原方程的解．
注 當分式方程的結(jié)構(gòu)較復雜且有相同或相近部分時，可通過換元將之簡化．
3．形如 結(jié)構(gòu)的分式方程的解法
形如 的分式方程的解是： ， ．
【例3】解方程 ．
解析 方程左邊兩項的乘積為1，可考慮化為上述類型的問題求解．
， 均為原方程的解．
4．運用整體代換解分式方程組
【例4】解方程組 ．
解析 若用常規(guī)思路設(shè)法消元，難度極大．注意到每一方程左邊分子均為單項式，為什么不試一試倒過來考慮呢?
解 顯然x=y=z=0是該方程組的一組解．
若x、y、z均不為0，取倒數(shù)相加得x=y=z=
故原方程組的解為x=y=z=0和x=y=z= ．
二、含字母系數(shù)分式方程根的討論
【例5】解關(guān)于x的方程 ．
解析 去分母化簡 為含字母系數(shù)的一次方程，須分類討論．
討論：（1）當a2－1≠0時
�、佼攁≠0時，原方程解為x= ；
�、诋攁=0時，此時 是增根．
(2) 當a2－1＝0時即a= ，此時方程的解為x≠ 的任意數(shù)；
綜上，當a≠±1且a≠0時，原方程解為x= ；當a=0時，原方程無解，；當a= 時，原方程的解為x≠ 的任意數(shù)．
三、列分式方程解應(yīng)用題
【例6】 某商場在一樓和二樓之間安裝了一自動扶梯，以均勻的速度向上行駛，一男孩和一女孩同時從自動扶梯上走到二樓(扶梯行駛，兩人也走梯)．如果兩人上梯的速度都是勻速的，每次只跨1級，且男孩每分鐘走動的級數(shù)是女孩的'2倍．已知男孩走了27級到達扶梯頂部，而女孩走了18級到達頂部．
�。�1）扶梯露在外面的部分有多少級?
(2)現(xiàn)扶梯近旁有一從二樓下到一樓的樓梯道，臺階的級數(shù)與 自動扶梯的級數(shù)相等，兩個孩子各自到扶梯頂部后按原 速度再下樓梯 ，到樓梯底部再乘自動扶梯上樓(不考慮扶梯與樓梯間的距離)．求男孩第一次迫上女孩時走了多少級臺階?
解析 題中有兩個等量關(guān)系，男孩走27級的時間等于扶梯走了S－27級的時間；女孩走18級的時間等于扶梯走S―18級的時間．
解 (1)設(shè)女孩上梯速度為x級／分，自動扶梯的速度為y級／分，扶梯露在外面的部分有S級，則男孩上梯的速度為2x級／分，且有
解得 S=54．
所以扶梯露在外面的部分有54級．
(2)設(shè)男孩第一次追上女孩時走過自動扶梯rn遍，走過樓梯n遍，則女孩走過自動扶梯(m―1)遍、走過樓梯(n―1)遍．
由于兩人所走的時間相等，所以有 ．
由(1)中可求得y=2x,代人上面方程 化簡得6n+m=16．
無論男孩第一次追上女孩是在自動扶梯還是在下樓時，m、n中都一定有一個是正整數(shù)，且0≤m―n≤1．
試驗知只有 m=3，n= 符合要求．
所以男孩第一次追上女孩時走的級數(shù)為3×27+ ×54=198(級)．
注 本題求解時設(shè)的未知數(shù)x、y，只設(shè)不求，這種方法在解復雜的應(yīng)用題時常用來幫助分析數(shù)量關(guān)系，便于解題．
【例7】 (江蘇省初中數(shù)學競賽C卷)編號為1到25的25個彈珠被分放在兩個籃子A和B中．15號彈珠在籃子A中，把這個彈珠從籃子A移至籃子B中，這時籃子A中的彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)等于原平均數(shù)加 ，籃子B中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)也等于原平均數(shù)加 ．問原來在籃子A中有多少個彈珠?
解析 本題涉及A中原有彈珠，A、B中號碼數(shù)的平均數(shù)，故引入三個未知數(shù)．
解 設(shè)原來籃子A中有彈珠x個，則籃子B中有彈珠(25－x)個．又記原來A中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)為a，B中彈珠號碼數(shù)的平均數(shù)為b．則由題意得
解得x=9，即原來籃子A中有9個彈珠．
學力訓練
�。ˋ級）
1．解分式方程 ．
2．若關(guān)于x的方程 有增根x=1，求k的值．
3．解分式方程 ．
4．解方程組 ．
5．丙、丁三管齊開，15分鐘可注滿全池；甲、丁兩管齊開，20分鐘注滿全池．如果四管齊開，需要多少時間可以注滿全池？
（B級）
1．關(guān)于x的方程 有唯一的解，字母已知數(shù)應(yīng)具備的條件是( )
A． a≠b B．c≠d C．c+d≠0 D．bc+ad≠0
2．某隊伍長6km，以每小時5 km的速度行進，通信員騎馬從隊頭到隊尾送信，到 隊尾后退返回隊頭，共用了0.5 h，則通信員騎馬的速度為每小時 km．
3．某項工作，甲單獨作完成的天數(shù)為乙、丙合作完成天數(shù)的m倍，乙單獨作完成的天數(shù)為甲、丙合作完成天數(shù)的n倍，丙單獨作完成的天數(shù)為甲、乙合作完成天數(shù)的k倍，則 = ．
4．m為何值時，關(guān)于x、y的方程組： 的解，滿足 ， ？
5．(天津市中考題)某工程由甲、乙兩隊合做6天完成，廠 家需付甲、乙兩隊共8700元；乙、丙兩隊合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊共9500元；甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的 ，廠家需付甲、丙兩隊共5500元．
(1)求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天?
(2)若工期要求不超過15天完成全部工程，問：由哪隊單獨完成此項 工程花錢最少?請說明理由．
6．甲、乙二人兩次同時在同一糧店購買糧食(假設(shè)兩次購買的單價不同)，甲每次購買糧食100kg，乙每次購買糧食用去100元．設(shè)甲、乙兩人第一次購買糧食的單價為x元／kg，第二次單價為y元／kg．
(1)用含x、y的代數(shù)式表示甲兩次購買糧食共需付款 元，乙兩次共購買 kg糧食．若甲兩次購買糧食的平均單價為每千克Ql元，乙兩次購糧的平均單價為每千克Q2元則Q1= ；Q2= ．
分式方程教案7
一，內(nèi)容綜述：
1、解分式方程的基本思想
在學習簡單的分式方程的解法時，是將分式方程化為一元一次方程，復雜的（可化為一元二次方程）分式方程的基本思想也一樣，就是設(shè)法將分式方程"轉(zhuǎn)化"為整式方程。即
分式方程整式方程
2、解分式方程的基本方法
�。�1）去分母法
去分母法是解分式方程的一般方法，在方程兩邊同時乘以各分式的最簡公分母，使分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。但要注意，可能會產(chǎn)生增根。所以，必須驗根。
產(chǎn)生增根的原因：
當最簡公分母等于0時，這種變形不符合方程的同解原理（方程的兩邊都乘以或除以同一個不等于零的數(shù)，所得方程與原方程同解），這時得到的.整式方程的解不一定是原方程的解。
檢驗根的方法：
將整式方程得到的解代入原方程進行檢驗，看方程左右兩邊是否相等。
為了簡便，可把解得的根直接代入最簡公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必須舍去。
注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公
分母為0。
用去分母法解分式方程的一般步驟：
�。╥）去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；
�。╥i）解所得的整式方程；
�。╥ii）驗根做答
�。�2）換元法
為了解決某些難度較大的代數(shù)問題，可通過添設(shè)輔助元素（或者叫輔助未知數(shù)）來解決。輔助元素的添設(shè)是使原來的未知量替換成新的未知量，從而把問題化繁為簡，化難為易，使未知量向已知量轉(zhuǎn)化，這種思維方法就是換元法。換元法是解分式方程的一種常用技巧，利用它可以簡化求解過程。
用換元法解分式方程的一般步驟：
（i）設(shè)輔助未知數(shù)，并用含輔助未知數(shù)的代數(shù)式去表示方程中另外的代數(shù)式；
�。╥i）解所得到的關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程，求出輔助未知數(shù)的值；
�。╥ii）把輔助未知數(shù)的值代回原設(shè)中，求出原未知數(shù)的值；
�。╥v）檢驗做答。
注意：
（1）換元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用換元法把原方程化簡，把解一個比較復雜的方程轉(zhuǎn)化為解兩個比較簡單的方程。
�。�2）分式方程解法的選擇順序是先特殊后一般，即先考慮能否用換元法解，不能用換元法解的，再用去分母法。
（3）無論用什么方法解分式方程，驗根都是必不可少的重要步驟。
分式方程教案8
學習目標
1、進一步熟悉分式方程的解法；
2、會列分式方程解決實際問題。
學習重點
實際生活中相關(guān)工程問題類的分式方程應(yīng)用題的分析應(yīng)用.
學習難點
將實際問題中的等量關(guān)系用分式方程來表示并且求得結(jié)果.
學習過程
一、知識鏈接：
1、解方程
�。�1）（2）
2、八年級學生去距學校10千米的博物館參觀，一部分同學騎自行車先走，過了20分鐘后，其余同學乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達。已知汽車的速度是騎車同學速度的2倍，求騎車同學的速度。
（1）此題中所包含的相等關(guān)系是：
�、賍___________________________________________________;
②_____________________________________________________
�。�2）若設(shè)騎車同學的速度為x千米/時，則汽車所用的時間為________________小時，騎車同學所用的時間為______________________小時。
�。�3）列出方程，并解答.
二、探究新知
例1兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工一個月完成總工程的，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成，哪個隊的施工速度快？
練習：甲，乙做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個所用的時間與乙做60個所用的時間相等。求甲，乙每小時各做多少個？
例2某次列車平均提速 vkm/h.用相同的時間，列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km，提速前列車的平均速度為多少？
練習：甲、乙兩人分別從距目的地6km和10km的兩地同時出發(fā)，甲、乙的速度比是3：4，結(jié)果甲比乙提前20min到達目的地.求甲、乙的速度。
三、鞏固練習：
1、某化肥廠原計劃每天生產(chǎn)化肥x噸，由于采取了新技術(shù)，每天多生產(chǎn)化肥3噸，實際生產(chǎn)180噸與原計劃生產(chǎn)120噸的時間相等，那么適合x的方程是（）.
2、部分學生自行組織春游，預計費用120元，后來又有2名學生參加，總費用不變，這樣每人可少交3元，若設(shè)原來這部分學生的人數(shù)是x人，則可列方程為.
3、某市為進一步緩解交通擁堵現(xiàn)象，決定修建一條從市中心到飛機場的`輕軌鐵路．實際施工時，每月的工效比原計劃提高了20%，結(jié)果提前5個月完成這一工程．求原計劃完成這一工程的時間是多少月？
4、我市某校為了創(chuàng)建書香校園，去年購進一批圖書，經(jīng)了解，科普書的單價比文學書的單價多4元，用12000元購進的科普書與用8000元購進的文學書本數(shù)相等，今年文學書和科普書的單價和去年相比保持不變，該校打算用10000元再購進一批文學書和科普書，問購進文學書550本后至多還能購進多少本科普書？
5、某工廠加工某種產(chǎn)品，機器每小時加工產(chǎn)品的數(shù)量比手工每小時加工產(chǎn)品的數(shù)量的2倍多9件，若加工1800件這樣的產(chǎn)品，機器加工所用的時間是手工加工所用時間的倍，求手工每小時加工產(chǎn)品的數(shù)量.
四、課后反思：
分式方程教案9
一、教學內(nèi)容分析：
本節(jié)“分式方程”是人教版八年級下冊第16章第3節(jié)的內(nèi)容，是繼一元一次方程，二元一次方程組之后，初中階段所講授的又能一種方程的解法。本節(jié)課是在繼分式的內(nèi)容及分式的四則混合運算之后所講述的一個內(nèi)容，其實際上就是分式與方程的綜合。因此本節(jié)課可以看作是一個綜合課，同時分式方程的解法也是初中階段的一個重點內(nèi)容，要求學生必須掌握。
二、學情分析：
在學習本章之前，學生已經(jīng)分兩次學習過整式方程(一元一次方程、二元一次方程組)，他們對于整式方程特別是一元一次方程的解法及其基本思路(使方程逐步化為x=a的形式)已經(jīng)比較熟悉，而分式方程的未知數(shù)在分母中，它的解法比以前學過的方程復雜，需通過轉(zhuǎn)化思想，化分式方程為整式方程。
三、教學目標：
1、明確什么是分式方程?會區(qū)分整式方程與分式方程。
2、會解可化為一元一次方程的分式方程。
3、知道分式方程產(chǎn)生增根的原因，并學會如何驗根。
四、教學重點：
分式方程的解法。
教學難點：理解分式方程可能產(chǎn)生增根的原因。
五、教學流程
1、憶一憶
(1)什么叫方程?什么叫方程的解?
(2)什么叫分式?
(3)結(jié)合具體例子說出解一元一次方程的.步驟。
設(shè)計意圖：
讓學生由舊知識的回憶自然引出新知識便于學生理解接受。
2x-(x-1)/3=6 3x/4+(2x+1)/3=0
2、猜一猜
板書課題“分式方程”，讓學生猜一猜其概念，結(jié)合分式和方程的特點學生易得出：分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程。
設(shè)計意圖：
采用這種形式引入今天的話題，讓學生覺得不是在上數(shù)學，而象是在拉家常，讓學生沒有負擔，另外，學生在前面的回憶的基礎(chǔ)上很容易猜出來分式方程的概念。這樣使學生感受到數(shù)學的簡單，從而樹立學好數(shù)學的信心。
3、辨一辨
判斷下列方程是不是分式方程，并說出為什么?
1/(x-2)=3/x x(x-1)/x=-1 (3-x)/=x/2
2x+(x-1)/5=10 3/x=2/(x-3) (2x+1)/x+3x=1
指出：
分式方程與整式方程的區(qū)別(分母中含不含未知數(shù))
設(shè)計意圖：
學生說出來了分式方程的概念還遠遠不夠，通過這道題使學生更進一步的鞏固分式方程的概念。 (x-1)/x=-1這個方程可能學生會有爭議，讓學生說出自己的意見后，老師可總結(jié)，在判斷方是否為分式方程時，不能化簡，以形式為準。
4、想一想
提出該如何解方程呢?讓學生討論后得出：
通過去分母，方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母，回憶最簡公分母的定義。
設(shè)計意圖：
讓學生自己去想該如何解，然后老師加以指導，這樣會使學生感覺到自己真正是課堂的主人，從而全身心地投入學習。
5、試一試
(1)80/(x+5) (2)1/(x-5)=10/x.x-25
方程兩邊同乘以x(x+5)得：方程兩邊同乘以(x+5)(x-5)得：
80x=60(x+5) x+5=10
80x=60x+300 x=5
20x=300
x=15
提醒學生檢驗，對比兩個方程發(fā)現(xiàn)問題。
設(shè)計意圖：
通過提醒學生檢驗，讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題。從而自然引出話題。
6、議一議
分式方程為什么會產(chǎn)生增根?(兩邊都乘以了一個零因式，但這個根是整式方程的解)所以分式方程的檢驗代入最簡公分母即可，提出，分式方程能不檢驗嗎?通過討論使學生得出分式方程必須檢驗，因為分式方程的檢驗是為了看是不是增根，而不是檢驗對錯，所以必須檢驗。
7、說一說
老師幫忙總結(jié)出解分式方程的一般步驟：
1、程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程。
2、解這個整式方程。
3、把整式方程的根代入最簡公分母，看它的值是否為零，使最簡公分母為零的值是原方程的增根，必須舍去。
可簡單記作：
一化二解三檢驗。
設(shè)計意圖：
讓學生對所學知識上升到一個理論高度。
8、做一做
解方程：
(1)2/(x-3)=3/x (2)x/(x-1)-1=3/(x-1)(x+2)
體驗解分式方程的完整過程。
分式方程教案10
總體說明：本節(jié)共三個課時,它分為分式方程的認知,分式方程的解答,以及分式方程在實際問題中的應(yīng)用。彼此之間由淺入深。是“實際問題——&sh;&sh;分式方程建模&sh;&sh;&sh;——求解——解釋解的合理性”過程。本章在前面幾節(jié)陸續(xù)介紹了分式，分式的乘除，分式的加減，為本節(jié)解分式方程打下了扎實的基礎(chǔ)。同時應(yīng)注意對學生進行過程性評價，要延遲評價學生運算的熟練程度，允許學生經(jīng)過一定時間達到《標準》要求的目標，把評價重點放在對算理的理解上。
一、學生知識狀況分析
學生的知識技能基礎(chǔ)：學生在小學以及七年級學過解應(yīng)用題，以及在本章第三節(jié)所講述的分式加減時所引入的問題的提出及問題的解答。對實際問題進行建模有初步地了解，具備分析問題，處理問題的能力。
學生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在相關(guān)知識的學習過程中，學生已經(jīng)經(jīng)歷了一些問題建模活動，解決了一些簡單的現(xiàn)實問題，感受到找出問題等量關(guān)系的作用。獲得了解決實際問題所必須的一些數(shù)學活動經(jīng)驗基礎(chǔ)。同時在以前的數(shù)學學習中學生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學習的經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力。
二、教學任務(wù)分析
教學時要有意識地進一步提高學生的閱讀理解能力，鼓勵學生從多角度思考問題，解釋所獲得結(jié)果的合理性。對于常用的數(shù)量關(guān)系，雖然學生以前大都接觸過，但在本節(jié)的教學中仍要注意復習、總結(jié)，并抓住用兩個已知量表示第三個量的表達式，引導學生舉一反三，進一步提高分析問題與解決問題的能力。為此，本課時的教學目標是：
知識與技能：
�。�1）通過對實際問題的分析，感受分式方程刻畫現(xiàn)實世界的有效模型的意義。
（2）通過觀察，歸納分式方程的概念。
�。�3）體會到分式方程作為實際問題的'模型，能夠根據(jù)實際問題建立分式方程的數(shù)學模型，并能歸納出分式方程的描述性定義。
過程與方法：采用的是嘗試——歸納相結(jié)合的方法，根據(jù)開始提出的多個實際問題。教師鼓勵學生進行嘗試，利用具體情境中的等量關(guān)系列出分式方程，歸納出分式方程的定義。
情感與態(tài)度：在建立分式方程的數(shù)學模型的過程中培養(yǎng)能力和克服困難的勇氣，并從中獲得成就感，提高解決問題的能力。
三、教學過程分析
本節(jié)課設(shè)計了6教學環(huán)節(jié)：小麥實驗田問題——高速公路問題——電腦網(wǎng)絡(luò)培訓問題——捐款問題——管理問題——課時小節(jié)。
第一環(huán)節(jié) 小麥實驗田問題
活動內(nèi)容： 有兩塊面積相同的小麥試驗田，第一塊使用原品種，第二塊使用新品種，分別收獲小麥9000g和15000g。已知第一塊試驗田每公頃的產(chǎn)量比第二塊少3000g，分別求出這兩塊試驗田每公頃的產(chǎn)量。你能找出這一問題中的所有等量關(guān)系嗎？
如果設(shè)第一塊實驗田每公頃的產(chǎn)量為 ，那么第二塊試驗田每公頃的產(chǎn)量是___________g.
根據(jù)題意，可得方程：
_______________________________________________
活動目的：為了讓學生經(jīng)歷從實際問題抽象、概括分式方程這一“數(shù)學化”的過程，體會分式方程的模型在解決實際生活問題中作用，設(shè)置了這么一個例題，關(guān)鍵是引導學生努力尋找問題中的所有等量關(guān)系，發(fā)展學生分析問題、解決問題的能力。
教學效果：在第一問中，同學們七嘴八舌，得到了許多等量關(guān)系。1、第一塊實驗田的
面積=第二塊實驗田的面積。2、每公頃的產(chǎn)量 。3、第一塊實驗田每公頃的產(chǎn)量 第二塊試驗田每公頃的產(chǎn)量。感覺到每人都能想一點，但都不全。第三問得到也有多種方案。例1、 ，2、 這時教師就應(yīng)適時引導 ， ， 每步的實際意義是什么？這樣幫學生排除了第二種形式。
第二環(huán)節(jié) 高速公路問題
活動內(nèi)容：從甲地到乙地有兩條長路：一條是全長600 的普通公路，另一條是全長480 的高速公路。某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45 ，由高速公路從甲地到乙地所需的時間是由普通公路從甲地到乙地所需時間的一半，求該客車由高速公路從甲地到乙地所需的時間。
這一問題中有哪些等量關(guān)系？
如果設(shè)客車由高速公路從甲地到乙地所需的時間為 ，那么它由普通公路從甲地到乙地所需的時間為 _________________ 。 根據(jù)題意，可得方程_______________________________________________
活動目的：再次讓學生經(jīng)歷從實際問題抽象、概括分式方程這一“數(shù)學化”的過程，體會分式方程的模型作用，設(shè)置了這么一個例題，關(guān)鍵是引導學生努力尋找問題中的所有等量關(guān)系，發(fā)展學生分析問題、解決問題的能力。
教學效果：這次討論的聲音比第一次要少些，可能感覺比上一題容易。找出的等量關(guān)系有（1）600=客車在普通公路上行駛的平均速度 客車由普通公路從甲地到乙地的時間。
�。�2）480 =客車在高速公路上行駛的平均速度 客車由高速公路從甲地到乙地的時間。
�。�3）客車在高速公路上行駛的平均速度減去客車在普通公路上行駛的平均速度
（4）由高速公路從甲地到乙地的時間 由普通公路從甲地到乙地的時間。
同樣注意引導學生每一步的實際意義。
第三環(huán)節(jié) 電腦網(wǎng)絡(luò)培訓問題
活動內(nèi)容：王軍同學準備在課外活動時間組織部分同學參加電腦網(wǎng)絡(luò)培訓，按原定的人數(shù)估計共需費用300元。后因人數(shù)增加到原定人數(shù)的2倍，費用享受了優(yōu)惠，一共只需要480元，參加活動的每個同學平均分攤的費用比原計劃少4元，原定的人數(shù)是多少？這一問題中有哪些等量關(guān)系？
如果設(shè)原定是 人，那么每人平均分攤______________元。
人數(shù)增加到原定人數(shù)的2倍后，每人平均分攤_________________元。
根據(jù)題意，可得方程_______________________________________________-.
活動目的： 由淺入深，出了一道比上題難度大一點的問題。還是為了訓練學生找出問題中的所有等量關(guān)系，發(fā)展學生分析問題、解決問題的能力。
教學效果：這次學生討論的聲音又大了點，找出了如下的等量關(guān)系
�。�1） 實際參加活動的人數(shù)=原定人數(shù) 。
�。�2） 原計劃每個同學平均分攤的費用=實際每個同學平均分攤的費用+4元。
根據(jù)題意：
第四環(huán)節(jié) 捐款問題 這個題目不要求學生討論。讓學生獨立完成。
活動內(nèi)容：為了幫助遭受自然災害的地區(qū)重建家園。某學校號召同學們自愿捐款。已知第一次捐款總額為4800元，第二次捐款總額為5000元，第二次捐款人數(shù)比第一次多20人，而且兩次人均捐款恰好相等。如果設(shè)第一次捐款人數(shù)為 人，那么 滿足怎樣的方程？
活動目的：這次讓學生獨立思考，不再借助別人的力量。根據(jù)前面幾題的練習，看同學們對找等量關(guān)系到底掌握了多少。特別關(guān)注那些后進生。以便及時調(diào)整教學進度。
教學效果：
這次不允許討論，學生花的時間比上二題多些。當然有的學生還是反應(yīng)很快，還有一部分學生則花了有5分鐘的時間。在這個班，說明學生之間的差異還是很大的。
第五環(huán)節(jié) 管理問題
活動內(nèi)容 ：某商場有管理人員40人，銷售人員80人，為了提高服務(wù)水平和銷售量，商場決定從管理人員中抽調(diào)一部分人充實銷售部分，使管理人員與銷售人員的人數(shù)比為1：4，那么應(yīng)抽調(diào)的管理人員數(shù) 滿足怎樣的方程？
活動目的 ：這個例題還是采取獨立思考的原則，主要是針對剛才教師發(fā)現(xiàn)上一題做慢，做錯的同學。努力引導他們找到問題中的等量關(guān)系。
教學效果：再次提醒剛才做錯的和做的很慢的同學。讓他們找到等量關(guān)系。由于我的提醒和同學們的注意力高度集中，從檢查的效果來看，比上一次大有進步。
第六環(huán)節(jié) 課時小節(jié)
活動內(nèi)容 ： 對于一個現(xiàn)實問題 找到它的等量關(guān)系 建立分式方程 分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程 同時注意每一步的實際意義。
活動目的：讓學生感受到在實際問題中，一定要找到它的等量關(guān)系，最好是越多越好。根據(jù)等量關(guān)系來列方程，這個方程不是唯一的，今天的分式方程就是以前沒有接觸過的。同時培養(yǎng)學生有條理的思考及其語言表達能力。
教學效果：小節(jié)最好由同學們討論，再派代表來敘述。而不是讓老師說。教師只是順勢把學生的話進行一個歸納。關(guān)注學生從現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學問題的能力，關(guān)注學生能否嘗試用不同方法尋求問題中數(shù)量關(guān)系，并用分式方程表示，能否表達自己解決問題的過程。大家基本都知道核心是找到等量關(guān)系，從而找到它的方程。
布置作業(yè)：P87——隨堂練習第一題P88——習題3.6——1，2，3
四、教學反思
1、教材只是為教師提供最基本的教學素材，教師完全可以根據(jù)學生的實際情況進行適當調(diào)整。這些問題的提出要根據(jù)本班學生的實際情況，學生能力強的，就要找一些難度大的。學生能力弱的，就要找一些難度小的。還可以因勢利導的編一些與同學們生活息息相關(guān)的例子。當然，這些問題的提出都必須以現(xiàn)實生活為背景。不要出一些與實際生活不符的純理論問題。
2、課堂上要把激發(fā)學生學習的積極性放在首位，多讓學生說，幫助學生培養(yǎng)發(fā)展有條理的思考及其語言表達能力。同時要多注意困難學生的疑問。不要讓一些思維活躍的學生的回答代替了其他同學的思考。使小組學習更有實效性。
3、列分式方程解決應(yīng)用問題要比列一次方程（組）稍復雜一些。教學是要引導學生抓住尋找等量關(guān)系，恰當選設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，細心分析問題中的數(shù)量關(guān)系。一定要在這方面多花時間，要讓你“會”轉(zhuǎn)化為學生“會”。只要學生腦子里有分析這種問題的“意識”這節(jié)課才有收獲。
分式方程教案11
教案
【教學目標】
知識目標
1.理解分式方程的意義.
2.了解解分式方程的基本思路和解法.
3.理解解分式方程時可能無解的原因,并掌握分式方程的驗根方法.
能力目標
經(jīng)歷“實際問題——分式方程——整式方程”的過程,發(fā)展學生分析問題、解決問題的能力,滲透數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想,培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識.
情感目標
在活動中培養(yǎng)學生樂于探究、合作學習的習慣,培養(yǎng)學生努力尋找解決問題的進取心,體會數(shù)學的應(yīng)用價值.
【教學重難點】
重點:解分式方程的基本思路和解法.
難點:理解解分式方程時可能無解的原因.
【教學過程】
一、創(chuàng)設(shè)情境,導入新課
問題:一艘輪船在靜水中的最大航速為30 km/h,它以最大航速沿江順流航行90 km所用時間,與以最大航速逆流航行60 km所用時間相等,江水的流速為多少?
分析:設(shè)江水的流速為v km/h,則輪船順流航行的速度為(30+v) km/h,逆流航行的速度為(30-v) km/h,順流航行90 km所用的時間為小時,逆流航行60 km所用的時間為小時.可列方程=.
這個方程和我們以前所見過的方程不同,它的主要特點是:分母中含有未知數(shù),這種方程就是我們今天要研究的'分式方程.
二、探究新知
1.教師提出下列問題讓學生探究:
(1)方程=與以前所學的整式方程有何不同?
(2)什么叫分式方程?
(3)如何解分式方程=呢?怎樣檢驗所求未知數(shù)的值是原方程的解?
(4)你能結(jié)合上述探究活動歸納出解分式方程的基本思路和做法嗎?
(學生思考、討論后在全班交流)
2.根據(jù)學生探究結(jié)果進行歸納:
(1)分式方程的定義(板書):
分母里含有未知數(shù)的方程叫分式方程.以前學過的方程都是整式方程
練習:判斷下列各式哪個是分式方程.
(1)x+y=5; (2)=;
(3); (4)=0
在學生回答的基礎(chǔ)上指出(1)、(2)是整式方程,(3)是分式,(4)是分式方程.
(2)解分式方程=的基本思路是:將分式方程化為整式方程.具體做法是:“去分母”,即方程兩邊同乘最簡公分母.這也是解分式方程的一般思路和做法.
3.仿照上面解分式方程的做法,嘗試解分式方程=,并檢驗所得的解,你發(fā)現(xiàn)了什么?與你的同伴交流.
4.思考:上面兩個分式方程中,為什么=①去分母后所得整式方程的解就是①的解,而=②去分母后所得整式方程的解卻不是②的解呢?學生分組討論產(chǎn)生上述結(jié)果的原因,并互相交流.
5.歸納:
(1)增根:將分式方程變?yōu)檎椒匠虝r,方程兩邊同乘以一個含有未知數(shù)的整式,并約去分母,有可能產(chǎn)生不適合原方程的解(或根),這種根通常稱為增根.
(2)解分式方程必須進行檢驗:將整式方程的解代入最簡公分母,如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解;否則,這個解不是原分式方程的解.
三、鞏固練習
1.在下列方程中:
�、�=8+; ②=x;
③=; ④x-=0.
是分式方程的有( )
A.①和② B.②和③
C.③和④ D.④和①
2.解分式方程:(1)=;(2)=.
四、課堂小結(jié)
1.通過本節(jié)課的學習,你有哪些收獲?
2.在本節(jié)課的學習過程中,你有什么體會?與同伴交流.
引導學生總結(jié)得出:
解分式方程的一般步驟:
(1)在方程的兩邊都乘以最簡公分母,約去分母,化為整式方程.
(2)解這個整式方程.
(3)把整式方程的根代入最簡公分母,看結(jié)果是不是零;使最簡公分母為零的根不是原方程的解時,必須舍去.
五、布置作業(yè)
課本152頁練習.
第2課時
【教學目標】
知識目標
會分析題意找出相等關(guān)系,并能列出分式方程解決實際問題.
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同步練習
1.在某市舉行的大型商業(yè)演出活動中，對團體購買門票思想優(yōu)惠，決定在原定票價的基礎(chǔ)上每張降價80元，這樣按原定票價需花6000元購買的門票張數(shù)，現(xiàn)在只花費了4800元，求每張門票的原定價格?
2.為豐富校園文化生活，某校舉辦了成語大賽.學校準備購買一批成語詞典獎勵獲獎學生.購買時，商家給每本詞典打了九折，用2880元錢購買的成語詞典，打折后購買的數(shù)量比打折前多10本.求打折前每本筆記本的售價是多少元?
2.“六?一”兒童節(jié)前，某玩具商店根據(jù)市場調(diào)查，用2500元購進一批兒童玩具，上市后很快脫銷，接著又用4500元購進第二批這種玩具，所購數(shù)量是第一批數(shù)量的1.5倍，但每套進價多了10元.
(1)求第一批玩具每套的進價是多少元?
(2)如果這兩批玩具每套售價相同，且全部售完后總利潤不低于25%，那么每套售價至少是多少元?
精選練習
列方程或方程組解應(yīng)用題：
據(jù)林業(yè)專家分析，樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4毫克，若一年滯塵1000毫克所需的銀杏樹葉的片數(shù)與一年滯塵550毫克所需的國槐樹葉的片數(shù)相同，求一片國槐樹葉一年的平均滯塵量.
分式方程教案12
一、教學目標
1.使學生掌握可化為一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或換元的方法求此類方程的解，并會驗根.
2.通過本節(jié)課的教學，向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法;
3.通過本節(jié)的教學，繼續(xù)向?qū)W生滲透事物是相互聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化的辨證唯物主義觀點.
二、重點難點疑點及解決辦法
1.教學重點：可化為一元二次方程的分式方程的解法.
2.教學難點：解分式方程，學生不容易理解為什么必須進行檢驗.
3.教學疑點：學生容易忽視對分式方程的解進行檢驗通過對分式方程的解的剖析，進一步使學生認識解分式方程必須進行檢驗的重要性.
4.解決辦法：(l)分式方程的解法順序是：先特殊、后一般，即能用換元法的方程應(yīng)盡量用換元法解.(2)無論用去分母法解，還是換元法解分式方程，都必須進行驗根，驗根是解分式方程必不可少的一個重要步驟.(3)方程的增根具備兩個特點，①它是由分式方程所轉(zhuǎn)化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母為0.
三、教學步驟
(一)教學過程
1.復習提問
(1)什么叫做分式方程?解可化為一元一次方程的分式方程的方法與步驟是什么?
(2)解可化為一元一次方程的'分式方程為什么要檢驗?檢驗的方法是什么?
(3)解方程，并由此方程說明解方程過程中產(chǎn)生增根的原因.
通過(1)、(2)、(3)的準備，可直接點出本節(jié)的內(nèi)容：可化為一元二次方程的分式方程的解法相同.
在教師點出本節(jié)內(nèi)容的處理方法與以前所學的知識完全類同后，讓全體學生對照前面復習過的分式方程的解，來進一步加深對類比法的理解，以便學生全面地參與到教學活動中去，全面提高教學質(zhì)量.
在前面的基礎(chǔ)上，為了加深學生對新知識的理解，教師與學生共同分析解決例題，以提高學生分析問題和解決問題的能力.
2.例題講解
例1 解方程.
分析 對于此方程的解法，不是教師講如何如何解，而是讓學生對已有知識的回憶，使用原來的方法，去通過試的手段來解決，在學生敘述過程中，發(fā)現(xiàn)問題并及時糾正.
解：兩邊都乘以，得
去括號，得
整理，得
解這個方程，得
檢驗：把代入，所以是原方程的根.
原方程的根是.
雖然，此種類型的方程在初二上學期已學習過，但由于相隔時間比較長，所以有一些學
生容易犯的類型錯誤應(yīng)加以強調(diào)，如在第一步中.需強調(diào)方程兩邊同時乘以最簡公分母.另
外，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，所得的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，由于是解
分式方程，所以在下結(jié)論時，應(yīng)強調(diào)取一即可，這一點，教師應(yīng)給以強調(diào).
例2 解方程
分析：解此方程的關(guān)鍵是如何將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，而轉(zhuǎn)化為整式方程的關(guān)鍵是
正確地確定出方程中各分母的最簡公分母，由于此方程中的分母并非均按的降冪排列，所
以將方程的分母作一轉(zhuǎn)化，化為按字母終X進行降暴排列，并對可進行分解的分母進行分解，從而確定出最簡公分母.
解：方程兩邊都乘以，約去分母，得
整理后，得
解這個方程，得
檢驗：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把
代入它等于0，所以是增根.
原方程的根是
師生共同解決例1、例2后，教師引導學生與已學過的知識進行比較.
例3 解方程.
分析：此題也可像前面例l、例2一樣通過去分母解決，學生可以試，但由于轉(zhuǎn)化后為一元四次方程，解起來難度很大，因此應(yīng)尋求簡便方式，通過引導學生仔細觀察發(fā)現(xiàn)，方程中含有未知數(shù)的部分 和互為倒數(shù)，由此可設(shè) ，則可通過換元法來解題，通過求出
y后，再求原方程的未知數(shù)的值.
解：設(shè)，那么，于是原方程變形為
兩邊都乘以y，得
解得
當時，，去分母，得
解得;
當時，，去分母整理，得
檢驗：把分別代入原方程的分母，各分母均不等于0.
原方程的根是
此題在解題過程中，經(jīng)過兩次轉(zhuǎn)化，所以在檢驗中，把所得的未知數(shù)的值代入原方程中的分母進行檢驗.
鞏固練習：教材P49中1、2引導學筆答.
(二)總結(jié)、擴展
對于小結(jié)，教師應(yīng)引導學生做出.
本節(jié)內(nèi)容的小結(jié)應(yīng)從所學習的知識內(nèi)容、所學知識采用了什么數(shù)學思想及教學方法兩方面進行.
本節(jié)我們通過類比的方法，在已有的解可化為一元一次方程的分式方程的基礎(chǔ)上，學習了可化為一元二次方程的分式方程的解法，在具體方程的解法上，適用了轉(zhuǎn)化與換元的基本數(shù)學思想與基本數(shù)學方法.
此小結(jié)的目的，使學生能利用類比的方法，使學過的知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，形成認知結(jié)構(gòu)，便于學生掌握.
四、布置作業(yè)
1.教材P50中A1、2、3.
2.教材P51中B1、2
五、板書設(shè)計
探究活動1
解方程：
分析：若去分母，則會變?yōu)楦叽畏匠�，這樣解起來，比較繁，注意到分母中都有，可用換元法降次
設(shè)，則原方程變?yōu)?/p>
或無解
經(jīng)檢驗：是原方程的解
探究活動2
有農(nóng)藥一桶，倒出8升后，用水補滿，然后又倒出4升，再用水補滿，此時農(nóng)藥與水的比為18：7，求桶的容積.
解：設(shè)桶的容積為 升，第一次用水補滿后，濃度為 ，第二次倒出的農(nóng)藥數(shù)為4. 升，兩次共倒出的農(nóng)藥總量(8+4 )占原來農(nóng)藥 ，故
整理，
(舍去)
答：桶的容積為40升.
分式方程教案13
一、教學目標
1。使學生掌握可化為一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或換元的方法求此類方程的解，并會驗根。
2。通過本節(jié)課的教學，向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想方法；
3。通過本節(jié)的教學，繼續(xù)向?qū)W生滲透事物是相互聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化的辨證唯物主義觀點。
二、重點、難點、疑點及解決辦法
1。教學重點：可化為一元二次方程的分式方程的解法。
2。教學難點：解分式方程，學生不容易理解為什么必須進行檢驗。
3。教學疑點：學生容易忽視對分式方程的解進行檢驗通過對分式方程的解的剖析，進一步使學生認識解分式方程必須進行檢驗的重要性。
4。解決辦法：（l）分式方程的解法順序是：先特殊、后一般，即能用換元法的方程應(yīng)盡量用換元法解。（2）無論用去分母法解，還是換元法解分式方程，都必須進行驗根，驗根是解分式方程必不可少的一個重要步驟。（3）方程的增根具備兩個特點，①它是由分式方程所轉(zhuǎn)化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母為0。
三、教學步驟
（一）教學過程
1。復習提問
�。�1）什么叫做分式方程？解可化為一元一次方程的分式方程的方法與步驟是什么？
（2）解可化為一元一次方程的分式方程為什么要檢驗？檢驗的方法是什么？
�。�3）解方程，并由此方程說明解方程過程中產(chǎn)生增根的原因。
通過（1）、（2）、（3）的準備，可直接點出本節(jié)的內(nèi)容：可化為一元二次方程的分式方程的解法相同。
在教師點出本節(jié)內(nèi)容的處理方法與以前所學的知識完全類同后，讓全體學生對照前面復習過的分式方程的解，來進一步加深對“類比”法的理解，以便學生全面地參與到教學活動中去，全面提高教學質(zhì)量。
在前面的基礎(chǔ)上，為了加深學生對新知識的理解，教師與學生共同分析解決例題，以提高學生分析問題和解決問題的能力。
2。例題講解
例1解方程。
分析對于此方程的解法，不是教師講如何如何解，而是讓學生對已有知識的回憶，使用原來的方法，去通過試的手段來解決，在學生敘述過程中，發(fā)現(xiàn)問題并及時糾正。
解：兩邊都乘以，得
去括號，得
整理，得
解這個方程，得
檢驗：把代入，所以是原方程的根。
∴原方程的根是。
雖然，此種類型的方程在初二上學期已學習過，但由于相隔時間比較長，所以有一些學生容易犯的類型錯誤應(yīng)加以強調(diào)，如在第一步中。需強調(diào)方程兩邊同時乘以最簡公分母。另外，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，所得的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，由于是解分式方程，所以在下結(jié)論時，應(yīng)強調(diào)取一即可，這一點，教師應(yīng)給以強調(diào)。
例2解方程
分析：解此方程的`關(guān)鍵是如何將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，而轉(zhuǎn)化為整式方程的關(guān)鍵是
正確地確定出方程中各分母的最簡公分母，由于此方程中的分母并非均按的降冪排列，所以將方程的分母作一轉(zhuǎn)化，化為按字母終行降暴排列，并對可進行分解的分母進行分解，從而確定出最簡公分母。
解：方程兩邊都乘以，約去分母，得
整理后，得
解這個方程，得
檢驗：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把
代入它等于0，所以是增根。
∴原方程的根是
師生共同解決例1、例2后，教師引導學生與已學過的知識進行比較。
例3解方程。
分析：此題也可像前面例l、例2一樣通過去分母解決，學生可以試，但由于轉(zhuǎn)化后為一元四次方程，解起來難度很大，因此應(yīng)尋求簡便方式，通過引導學生仔細觀察發(fā)現(xiàn)，方程中含有未知數(shù)的部分和互為倒數(shù)，由此可設(shè)，則可通過換元法來解題，通過求出y后，再求原方程的未知數(shù)的值。
解：設(shè)，那么，于是原方程變形為
兩邊都乘以y，得
解得
當時，，去分母，得
解得；
當時，，去分母整理，得，
檢驗：把分別代入原方程的分母，各分母均不等于0。
∴原方程的根是，
此題在解題過程中，經(jīng)過兩次“轉(zhuǎn)化”，所以在檢驗中，把所得的未知數(shù)的值代入原方程中的分母進行檢驗。
鞏固練習：教材P49中1、2引導學筆答。
�。ǘ┛偨Y(jié)、擴展
對于小結(jié)，教師應(yīng)引導學生做出。
本節(jié)內(nèi)容的小結(jié)應(yīng)從所學習的知識內(nèi)容、所學知識采用了什么數(shù)學思想及教學方法兩方面進行。
本節(jié)我們通過類比的方法，在已有的解可化為一元一次方程的分式方程的基礎(chǔ)上，學習了可化為一元二次方程的分式方程的解法，在具體方程的解法上，適用了“轉(zhuǎn)化”與“換元”的基本數(shù)學思想與基本數(shù)學方法。
此小結(jié)的目的，使學生能利用“類比”的方法，使學過的知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，形成認知結(jié)構(gòu)，便于學生掌握。
四、布置作業(yè)
1。教材P50中A1、2、3。
2。教材P51中B1、2
五、板書設(shè)計
探究活動1
解方程：
分析：若去分母，則會變?yōu)楦叽畏匠�，這樣解起來，比較繁，注意到分母中都有，可用換元法降次
設(shè)，則原方程變?yōu)?/p>
∴
∴或無解
∴
經(jīng)檢驗：是原方程的解
探究活動2
有農(nóng)藥一桶，倒出8升后，用水補滿，然后又倒出4升，再用水補滿，此時農(nóng)藥與水的比為18：7，求桶的容積。
解：設(shè)桶的容積為升，第一次用水補滿后，濃度為，第二次倒出的農(nóng)藥數(shù)為4。升，兩次共倒出的農(nóng)藥總量（8+4· ）占原來農(nóng)藥，故
整理，
�。ㄉ崛ィ�
答：桶的容積為40升。
分式方程教案14
教學目標：
1.學會根據(jù)定義判別分式方程與整式方程，了解分式方程增根產(chǎn)生的原因，掌握驗根的方法。
2.掌握可化為一元一次方程或一元二次方程的分式方程的解法，會用去分母求方程的解。
教學重點：去分母法解可化為一元一次方程或一元二次方程的分式方程。驗根的方法。
教學難點：驗根的方法。分式方程增根產(chǎn)生的原因。
教學準備：小黑板。
教學過程：
復習引入：下列方程中哪些分母中含有未知數(shù)？哪些分母中不含有未知數(shù)？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）。
講授新課：
1.由上述歸納出分式方程的概念：只含有分式或整式，且分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。方程兩邊都是整式的方程叫做整式方程。
2.討論分式方程的解法：
�。�1）復習解方程時，怎樣去分母？
�。�2）講解例1：解方程（按課文講解）
歸納：解分式方程的'基本思想：
分式方程整式方程
（3）講解例2：解方程（按課文講解）
歸納：在去分母時，有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，我們把它叫做增根。因此解分式方程必須檢驗，常把求得得根代入原方程的最簡公分母，看它的值是否為0，若為0，則為增根，必須舍去；若不為0，則為原方程的根。
想一想：產(chǎn)生增根的原因是什么？
鞏固練習：P1451t，2t。
課堂小結(jié)：什么叫做分式方程？
解分式方程時，為什么要檢驗？怎樣檢驗？
布置作業(yè)：見作業(yè)本。
分式方程教案15
教學目標
1。使學生能分析題目中的等量關(guān)系，掌握列分式方程解應(yīng)用題的方法和步驟，提高學生分析問題和解決問題的能力；
2。通過列分式方程解應(yīng)用題，滲透方程的思想方法。
教學重點和難點
重點：列分式方程解應(yīng)用題。
難點：根據(jù)題意，找出等量關(guān)系，正確列出方程。
教學過程設(shè)計
一、復習
例 解方程：
�。�1）2x+xx+3=1； （2）15x=2×15 x+12；
（3）2（1x+1x+3）+x－2x+3=1。
解 （1）方程兩邊都乘以x（3+3），去分母，得
2（x+3）+x2=x2+3x，即2x－3x=－6
所以 x=6。
檢驗：當x=6時，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的根。
�。�2）方程兩邊都乘以x（x+12），約去分母，得
15（x+12）=30x。
解這個整式方程，得
x=12。
檢驗：當x=12時，x（x+12）=12（12+12）≠0，所以x=12是原分式方程的根。
�。�3）整理，得
2x+2x+3+x－2x+3=1，即2x+2+x－2 x+3=1，
即 2x+xx+3=1。
方程兩邊都乘以x（x+3），去分母，得
2（x+3）+x2=x（x+3），
即 2x+6+x2=x2+3x，
亦即 2x－3x=－6。
解這個整式方程，得 x=6。
檢驗：當x=6時，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的根。
二、新課
例1 一隊學生去校外參觀，他們出發(fā)30分鐘時，學校要把一個緊急通知傳給帶隊老師，派一名學生騎車從學校出發(fā)，按原路追趕隊伍。若騎車的速度是隊伍進行速度的2倍，這名學生追上隊伍時離學校的距離是15千米，問這名學生從學校出發(fā)到追上隊伍用了多少時間？
請同學根據(jù)題意，找出題目中的等量關(guān)系。
答：騎車行進路程=隊伍行進路程=15（千米）；
騎車的速度=步行速度的2倍；
騎車所用的時間=步行的時間－0。5小時。
請同學依據(jù)上述等量關(guān)系列出方程。
答案：
方法1 設(shè)這名學生騎車追上隊伍需x小時，依題意列方程為
15x=2×15 x+12。
方法2 設(shè)步行速度為x千米／時，騎車速度為2x千米／時，依題意列方程為
15x－15 2x=12。
解 由方法1所列出的方程，已在復習中解出，下面解由方法2所列出的方程。
方程兩邊都乘以2x，去分母，得
30－15=x，
所以 x=15。
檢驗：當x=15時，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合題意。
所以騎車追上隊伍所用的時間為15千米 30千米／時=12小時。
答：騎車追上隊伍所用的時間為30分鐘。
指出：在例1中我們運用了兩個關(guān)系式，即時間=距離速度，速度=距離 時間。
如果設(shè)速度為未知量，那么按時間找等量關(guān)系列方程；如果設(shè)時間為未知量，那么按
速度找等量關(guān)系列方程，所列出的方程都是分式方程。
例2 某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成；若由乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成�，F(xiàn)由甲、乙兩隊合做兩天，剩下的工程由乙獨做，恰好在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期是多少天？
分析；這是一個工程問題，在工程問題中有三個量，工作量設(shè)為s，工作所用時間設(shè)為t，工作效率設(shè)為m，三個量之間的關(guān)系是
s=mt，或t=sm，或m=st。
請同學根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程。
答案：
方法1 工程規(guī)定日期就是甲單獨完成工程所需天數(shù)，設(shè)為x天，那么乙單獨完成工程所需的天數(shù)就是（x+3）天，設(shè)工程總量為1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3。依題意，列方程為
2（1x+1x3）+x2－xx+3=1。
指出：工作效率的意義是單位時間完成的工作量。
方法2 設(shè)規(guī)定日期為x天，乙與甲合作兩天后，剩下的工程由乙單獨做，恰好在規(guī)定日期完成，因此乙的工作時間就是x天，根據(jù)題意列方程
2x+xx+3=1。
方法3 根據(jù)等量關(guān)系，總工作量—甲的工作量=乙的工作量，設(shè)規(guī)定日期為x天，則可列方程
1－2x=2x+3+x－2x+3。
用方法1～方法3所列出的方程，我們已在新課之前解出，這里就不再解分式方程了。重點是找等量關(guān)系列方程。
三、課堂練習
1。甲加工180個零件所用的時間，乙可以加工240個零件，已知甲每小時比乙少加工5個零件，求兩人每小時各加工的零件個數(shù)。
2。A，B兩地相距135千米，有大，小兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘。已知大、小汽車速度的比為2：5，求兩輛汽車的速度。
答案：
1。甲每小時加工15個零件，乙每小時加工20個零件。
2。大，小汽車的速度分別為18千米／時和45千米／時。
四、小結(jié)
1。列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題的方法與步驟基本相同，不同點是，解分式方程必須要驗根。一方面要看原方程是否有增根，另一方面還要看解出的根是否符合題意。原方程的增根和不符合題意的根都應(yīng)舍去。
2。列分式方程解應(yīng)用題，一般是求什么量，就設(shè)所求的量為未知數(shù)，這種設(shè)未知數(shù)的方法，叫做設(shè)直接未知數(shù)。但有時可根據(jù)題目特點不直接設(shè)題目所求的量為未知量，而是設(shè)另外的量為未知量，這種設(shè)未知數(shù)的方法叫做設(shè)間接未知數(shù)。在列分式方程解應(yīng)用題時，設(shè)間接未知數(shù)，有時可使解答變得簡捷。例如在課堂練習中的第2題，若題目的條件不變，把問題改為求大、小兩輛汽車從A地到達B地各用的時間，如果設(shè)直接未知數(shù)，即設(shè)，小汽車從A地到B地需用時間為x小時，則大汽車從A地到B地需（x+5－12）小時，依題意，列方程
135 x+5－12：135x=2：5。
解這個分式方程，運算較繁瑣。如果設(shè)間接未知數(shù)，即設(shè)速度為未知數(shù)，先求出大、小兩輛汽車的速度，再分別求出它們從A地到B地的時間，運算就簡便多了。
五、作業(yè)
1 填空：
（1）一件工作甲單獨做要m小時完成，乙單獨做要n小時完成，如果兩人合做，完成這件工作的時間是______小時；
（2）某食堂有米m公斤，原計劃每天用糧a公斤，現(xiàn)在每天節(jié)約用糧b公斤，則可以比原計劃多用天數(shù)是______；
（3）把a千克的鹽溶在b千克的水中，那么在m千克這種鹽水中的含鹽量為______千克。
2 列方程解應(yīng)用題。
�。�1）某工人師傅先后兩次加工零件各1500個，當?shù)诙渭庸r，他革新了工具，改進了操作方法，結(jié)果比第一次少用了18個小時。已知他第二次加工效率是第一次的2。5倍，求他第二次加工時每小時加工多少零件？
（2）某人騎自行車比步行每小時多走8千米，如果他步行12千米所用時間與騎車行36千米所用的時間相等，求他步行40千米用多少小時？
�。�3）已知輪船在靜水中每小時行20千米，如果此船在某江中順流航行72千米所用的時間與逆流航行48千米所用的時間相同，那么此江水每小時的流速是多少千米？
�。�4）A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘。已知兩車的速度之比是5：2，求兩輛汽車各自的速度。
答案：
1 （1）mn m+n； （2）m a－b－ma； （3）ma a+b。
2 （1）第二次加工時，每小時加工125個零件。
�。�2）步行40千米所用的時間為40 4=10（時）。答步行40千米用了10小時。
�。�3）江水的流速為4千米／時。
課堂教學設(shè)計說明
1。教學設(shè)計中，對于例
1，引導學生依據(jù)題意，找到三個等量關(guān)系，并用兩種不同的方法列出方程；對于例
2，引導學生依據(jù)題意，用三種不同的方法列出方程。這種安排，意在啟發(fā)學生能善于從不同的角度、不同的方向思考問題，激勵學生在解決問題中養(yǎng)成靈活的思維習慣。這就為在列分式方程解應(yīng)用題教學中培養(yǎng)學生的發(fā)散思維提供了廣闊的空間。
2。教學設(shè)計中體現(xiàn)了充分發(fā)揮例題的模式作用。
例1是行程問題，其中距離是已知量，求速度（或時間）；例2是工程問題，其中工作總量為已知量，求完成工作量的時間（或工作效率）。這些都是運用列分式方程求解的典型問題。教學中引導學生深入分析已知量與未知量和題目中的等量關(guān)系，以及列方程求解的思路，以促使學生加深對模式的主要特征的理解和識另？別，讓學生弄清哪些類型的問題可借助于分式方程解答，求解的思路是什么。學生完成課堂練習和作業(yè)，則是識別問題類型，能把面對的問題和已掌握的模式在頭腦中建立聯(lián)系，探求解題思路。
3。通過列分式方程解應(yīng)用題數(shù)學，滲透了方程的思想方法，從中使學生認識到方程的思想方法是數(shù)學中解決問題的一個銳利武器。方程的思想方法可以用“以假當真”和“弄假成真”兩句話形容。如何通過設(shè)直接未知數(shù)或間接未知數(shù)的方法，假設(shè)所求的量為x，這時就把它作為一個實實在在的量。通過找等量關(guān)系列方程，此時是把已知量與假設(shè)的未知量平等看待，這就是“以假當真”。通過解方程求得問題的解，原先假設(shè)的未知量x就變成了確定的量，這就是“弄假成真”。
列分式方程解應(yīng)用題
教學目標
1。使學生能分析題目中的等量關(guān)系，掌握列分式方程解應(yīng)用題的方法和步驟，提高學生分析問題和解決問題的能力；
2。通過列分式方程解應(yīng)用題，滲透方程的思想方法。
教學重點和難點
重點：列分式方程解應(yīng)用題。
難點：根據(jù)題意，找出等量關(guān)系，正確列出方程。
教學過程設(shè)計
一、復習
例 解方程：
�。�1）2x+xx+3=1； （2）15x=2×15 x+12；
（3）2（1x+1x+3）+x－2x+3=1。
解 （1）方程兩邊都乘以x（3+3），去分母，得
2（x+3）+x2=x2+3x，即2x－3x=－6
所以 x=6。
檢驗：當x=6時，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的.根。
（2）方程兩邊都乘以x（x+12），約去分母，得
15（x+12）=30x。
解這個整式方程，得
x=12。
檢驗：當x=12時，x（x+12）=12（12+12）≠0，所以x=12是原分式方程的根。
�。�3）整理，得
2x+2x+3+x－2x+3=1，即2x+2+x－2 x+3=1，
即 2x+xx+3=1。
方程兩邊都乘以x（x+3），去分母，得
2（x+3）+x2=x（x+3），
即 2x+6+x2=x2+3x，
亦即 2x－3x=－6。
解這個整式方程，得 x=6。
檢驗：當x=6時，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的根。
二、新課
例1 一隊學生去校外參觀，他們出發(fā)30分鐘時，學校要把一個緊急通知傳給帶隊老師，派一名學生騎車從學校出發(fā)，按原路追趕隊伍。若騎車的速度是隊伍進行速度的2倍，這名學生追上隊伍時離學校的距離是15千米，問這名學生從學校出發(fā)到追上隊伍用了多少時間？
請同學根據(jù)題意，找出題目中的等量關(guān)系。
答：騎車行進路程=隊伍行進路程=15（千米）；
騎車的速度=步行速度的2倍；
騎車所用的時間=步行的時間－0。5小時。
請同學依據(jù)上述等量關(guān)系列出方程。
答案：
方法1 設(shè)這名學生騎車追上隊伍需x小時，依題意列方程為
15x=2×15 x+12。
方法2 設(shè)步行速度為x千米／時，騎車速度為2x千米／時，依題意列方程為
15x－15 2x=12。
解 由方法1所列出的方程，已在復習中解出，下面解由方法2所列出的方程。
方程兩邊都乘以2x，去分母，得
30－15=x，
所以 x=15。
檢驗：當x=15時，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合題意。
所以騎車追上隊伍所用的時間為15千米 30千米／時=12小時。
答：騎車追上隊伍所用的時間為30分鐘。
指出：在例1中我們運用了兩個關(guān)系式，即時間=距離速度，速度=距離 時間。
如果設(shè)速度為未知量，那么按時間找等量關(guān)系列方程；如果設(shè)時間為未知量，那么按
速度找等量關(guān)系列方程，所列出的方程都是分式方程。
例2 某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成；若由乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成。現(xiàn)由甲、乙兩隊合做兩天，剩下的工程由乙獨做，恰好在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期是多少天？
分析；這是一個工程問題，在工程問題中有三個量，工作量設(shè)為s，工作所用時間設(shè)為t，工作效率設(shè)為m，三個量之間的關(guān)系是
s=mt，或t=sm，或m=st。
請同學根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程。
答案：
方法1 工程規(guī)定日期就是甲單獨完成工程所需天數(shù)，設(shè)為x天，那么乙單獨完成工程所需的天數(shù)就是（x+3）天，設(shè)工程總量為1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3。依題意，列方程為
2（1x+1x3）+x2－xx+3=1。
指出：工作效率的意義是單位時間完成的工作量。
方法2 設(shè)規(guī)定日期為x天，乙與甲合作兩天后，剩下的工程由乙單獨做，恰好在規(guī)定日期完成，因此乙的工作時間就是x天，根據(jù)題意列方程
2x+xx+3=1。
方法3 根據(jù)等量關(guān)系，總工作量—甲的工作量=乙的工作量，設(shè)規(guī)定日期為x天，則可列方程
1－2x=2x+3+x－2x+3。
用方法1～方法3所列出的方程，我們已在新課之前解出，這里就不再解分式方程了。重點是找等量關(guān)系列方程。
三、課堂練習
1。甲加工180個零件所用的時間，乙可以加工240個零件，已知甲每小時比乙少加工5個零件，求兩人每小時各加工的零件個數(shù)。
2。A，B兩地相距135千米，有大，小兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘。已知大、小汽車速度的比為2：5，求兩輛汽車的速度。
答案：
1。甲每小時加工15個零件，乙每小時加工20個零件。
2。大，小汽車的速度分別為18千米／時和45千米／時。
四、小結(jié)
1。列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題的方法與步驟基本相同，不同點是，解分式方程必須要驗根。一方面要看原方程是否有增根，另一方面還要看解出的根是否符合題意。原方程的增根和不符合題意的根都應(yīng)舍去。
2。列分式方程解應(yīng)用題，一般是求什么量，就設(shè)所求的量為未知數(shù)，這種設(shè)未知數(shù)的方法，叫做設(shè)直接未知數(shù)。但有時可根據(jù)題目特點不直接設(shè)題目所求的量為未知量，而是設(shè)另外的量為未知量，這種設(shè)未知數(shù)的方法叫做設(shè)間接未知數(shù)。在列分式方程解應(yīng)用題時，設(shè)間接未知數(shù)，有時可使解答變得簡捷。例如在課堂練習中的第2題，若題目的條件不變，把問題改為求大、小兩輛汽車從A地到達B地各用的時間，如果設(shè)直接未知數(shù)，即設(shè)，小汽車從A地到B地需用時間為x小時，則大汽車從A地到B地需（x+5－12）小時，依題意，列方程
135 x+5－12：135x=2：5。
解這個分式方程，運算較繁瑣。如果設(shè)間接未知數(shù)，即設(shè)速度為未知數(shù)，先求出大、小兩輛汽車的速度，再分別求出它們從A地到B地的時間，運算就簡便多了。
五、作業(yè)
1。填空：
�。�1）一件工作甲單獨做要m小時完成，乙單獨做要n小時完成，如果兩人合做，完成這件工作的時間是______小時；
（2）某食堂有米m公斤，原計劃每天用糧a公斤，現(xiàn)在每天節(jié)約用糧b公斤，則可以比原計劃多用天數(shù)是______；
�。�3）把a千克的鹽溶在b千克的水中，那么在m千克這種鹽水中的含鹽量為______千克。
2。列方程解應(yīng)用題。
�。�1）某工人師傅先后兩次加工零件各1500個，當?shù)诙渭庸r，他革新了工具，改進了操作方法，結(jié)果比第一次少用了18個小時。已知他第二次加工效率是第一次的2。5倍，求他第二次加工時每小時加工多少零件？
�。�2）某人騎自行車比步行每小時多走8千米，如果他步行12千米所用時間與騎車行36千米所用的時間相等，求他步行40千米用多少小時？
�。�3）已知輪船在靜水中每小時行20千米，如果此船在某江中順流航行72千米所用的時間與逆流航行48千米所用的時間相同，那么此江水每小時的流速是多少千米？
（4）A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘。已知兩車的速度之比是5：2，求兩輛汽車各自的速度。
答案：
1。（1）mn m+n； （2）m a－b－ma； （3）ma a+b。
2。（1）第二次加工時，每小時加工125個零件。
�。�2）步行40千米所用的時間為40 4=10（時）。答步行40千米用了10小時。
�。�3）江水的流速為4千米／時。
課堂教學設(shè)計說明
1 教學設(shè)計中，對于例1，引導學生依據(jù)題意，找到三個等量關(guān)系，并用兩種不同的方法列出方程；對于例2，引導學生依據(jù)題意，用三種不同的方法列出方程。這種安排，意在啟發(fā)學生能善于從不同的角度、不同的方向思考問題，激勵學生在解決問題中養(yǎng)成靈活的思維習慣。這就為在列分式方程解應(yīng)用題教學中培養(yǎng)學生的發(fā)散思維提供了廣闊的空間。
2 教學設(shè)計中體現(xiàn)了充分發(fā)揮例題的模式作用。例1是行程問題，其中距離是已知量，求速度（或時間）；例2是工程問題，其中工作總量為已知量，求完成工作量的時間（或工作效率）。這些都是運用列分式方程求解的典型問題。教學中引導學生深入分析已知量與未知量和題目中的等量關(guān)系，以及列方程求解的思路，以促使學生加深對模式的主要特征的理解和識另？別，讓學生弄清哪些類型的問題可借助于分式方程解答，求解的思路是什么。學生完成課堂練習和作業(yè)，則是識別問題類型，能把面對的問題和已掌握的模式在頭腦中建立聯(lián)系，探求解題思路。
3 通過列分式方程解應(yīng)用題數(shù)學，滲透了方程的思想方法，從中使學生認識到方程的思想方法是數(shù)學中解決問題的一個銳利武器。方程的思想方法可以用“以假當真”和“弄假成真”兩句話形容。如何通過設(shè)直接未知數(shù)或間接未知數(shù)的方法，假設(shè)所求的量為x，這時就把它作為一個實實在在的量。通過找等量關(guān)系列方程，此時是把已知量與假設(shè)的未知量平等看待，這就是“以假當真”。通過解方程求得問題的解，原先假設(shè)的未知量x就變成了確定的量，這就是“弄假成真”。
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